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Z$8%ЗpIei{vCTMs +nE!XL@" i@{ 2GbP<'4Ф*lHh9N/a,a:R$ \H.)@_@Ȕm5:*W^LpB~J;v c4"ARI 5ƅWU}RPQcCw3nٻRNX:~WLAo4M!T/I椷ŻDQUIq0Af3qxg3Ĥkz z?Uw/iшOSLW` ?QL[p4r;]pe^Ʒӧ7Dnt6oy,*jFv4זm3pֽF9f@4#/K(g-*Pş8% [z>+}Hrs2=lJYKH&|s9<S`!{w)@ ϵan `%-:IxڝS=lPi?: pPUbpH$ 1)?(Nd!P 1t% [W6~ THؾw{a8v!3 'α-§~Q~CҎRcXD88YFwHE^QJ,{YD>.=Rwwy#^7-[+Zv4[^~tΐh˟'[-ΒwJK~vH_B~v| B>Ji=FXߩ#RNO/L0͛PWõ32$>v2x.qS(n{zMC*Nubq/u7u60g\\R-X5f]JmFBrB P^nu&ru;&U/燹Fɍ֪FӉcܼ{V cYyw=E҃uR5Wͻ3bQB*U&%i.?z#9C8K:ۼB1" "oA%1Kz&݃ϸ5_YQEp)^{qvj%(消$fϓi`!&쏋\ J9,`@n$:xuRKkQΝLj0Rc@" n&.2&$ .. n F\H<Τؙ9|wyCH#v!EEt:UhNDbS/3:7pSIF&{>0RXi+bQq) yo^2fuohvmXm=Ęv2ϋI)reזiJ't%zAb'6صQ[W#b(c?} ߍD.lldI'nDV_o_s;]ny}dhQN}k{=Xnz.8Q;46SK A98LL(ͤ4փ>^g4Jr ?HHCjP'iK*W*lcCĞٹ#8CNyzni301Vڨ?: N|>g'#Rwp`!^4elh]"Zv'@0u<~xڅTkAfv76I! 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GUmnJ1UmA"m+,OIl.ur4G7BǀZ~?硴]XEDk4qcxvigӢ'xY`!cl5;8<A70&@ C<1xڭUOQ-eKmKԥBIŦ!B#[(11$MmҒ!DzQOx xiUQ>1W}~hEz HEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationBEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationCEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationDEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationGEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationHEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationMEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationNEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationOEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationUEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationVEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 Equation[Equation Equation.DSMT40*MathType 5.0 Equation]Equation Equation.DSMT40*MathType 5.0 Equation^Equation Equation.DSMT40*MathType 5.0 Equation_Equation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationgEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationhEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationEjEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationFkEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationHnEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationJpEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationzrEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 EquationvEquation Equation.DSMT40*MathType 5.0 Equation/ 0LDTimes New Roman(0(z[ 0 H@ .  @n?" dd@  @@``   `+*    *%&'"         $  !2$i$KN\rX5J2$u0XJ2$iP2$ WPX!s2$RDQRҜ8 2$#qH*J4 {2F2$*l#!N2$4knIEGtQ,2$ބđ?Ȧj9y2$mCSFۧwrgp[2$`uVi,ju*X@/2$ {)Ts*}t3s7So2$NyR;-" bq\!2$llUkdP=bF$2$ Ӻ'R_BMd'2$ EO:sp)2$"8“tSV]1~1!,2$ iyQvR.2$ƒI&82$r ߎ8kѤO:2$Sr:ڦQe*1b)v=2$c|ʥ2zA@2$Ld!\0ؚ6C2$:YBi:G'W.E2$ҝeeIa3F2$x' bR.P H2$Z^E]@,wP,K2$N!T,Zzs2$l5;8<A70k^ 0AA@uʚ;>6ʚ;g4TdTd@z[ 0Dppp@ <4!d!dl 0t-<4ddddl 0t- <4BdBdl< 0880___PPT10 pp? %q4Anlisis no estndar para el lgebra y la topologa55G Javier Fresn Seminario Jnior de Geometra, CSIC 25 de abril de 2007*8Ha 1 IJEF56 l$b! x(m%o&f"i#?@AL ;STWXt'2 Y`\( , * )%(  ` ` ̙33` 333MMM` ff3333f` f` f` 3>?" dd@,|?" dd@   " @ ` n?" dd@   @@``PR    @ ` ` p>> TL(    6 P  k7Haga clic para modificar el estilo de ttulo del patrn8 8/  0̩   kHaga clic para modificar el estilo de texto del patrn Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel7    l  0 ``  X*  0l `   Z*  04 `   Z*H  0޽h ? ̙33 *Diseo predeterminadoH 0(  ~  s *<  r  S  `      6P >   6  > H  0޽h ? ̙33 @ V(     <E ` IEsquema&,,  6JpP >   <TNXjPH@___PPT9" y Se introducirn de forma ms o menos intuitiva las ideas de Robinson sobre las que se funda el anlisis no estndar. 2. Axiomtica de IST (principio de transferencia, idealizacin y estandarizacin). Algunas definiciones en el nuevo lenguaje. 3. Estudio de la variedad de leyes de lgebras asociativas reales de dimensin dos: clases de isomorfa, rigidez y contracciones. F}=}<}x @`H  0޽h ? ̙33: Pz(    <^` N Bibliografa& ,,  6@OpP >   <Tj j h[1] A. Robinson. Non standard analysis. North Holland, 1966 [2] E. Nelson. Internal Set Theory: a new approach to Nonstandard Analysis, Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977) [3] F. Diener, G. Reeb. Analyse Non Standard, Hermann, 1989 [4] R. Lutz, M. Goze. Non standard analysis. A practical guide with applications. Lect. Notes in Math. 881. Springer-Verlag, 1981 [5] J. M. Ancochea y otros, Contraction d'algebres de Jordan en dimension 2, arxiv.math.RA/0701477v1|}%<<&;O0H  0޽h ? ̙33: ` <z(  < < 0 z$` \El comienzo de la historia&,, < 6,`P > T < C ,A$leibnizth   < <0pP "G. F. Leibniz   < <Ć p ` tHacia 1650, Leibniz desarroll su clculo diferencial fijando dx y dy como las mnimas diferencias posibles en x e y. Enunci tambin frmulas del tipo dxy=xdy+ydx, pero no lleg a definir con claridad qu eran los infinitsimos y cmo se operaba con ellos. B}?H < 0޽h ? ̙33p  p`(  ` ` 0,` ZEl teorema de compacidad&,, ` 6@P >  ` 0(@  XTeorema (Gdel, 1929). Sea  un conjunto infinito de sentencias de primer orden. Entonces,  tiene un modelo si y slo si cada subconjunto finito 0 de  tiene un modelo. Dy ( Z ` C 2A'08-1-b-godelP ` <ȥ$ K. GdelH ` 0޽h ? ̙33e  d(  d4 d <H.h VAplicando el teorema de compacidad al conjunto de sentencias se prueba que  tiene un modelo N*. Naturalmente interpretada en ese modelo, la constante c es un natural infinitamente grande. Anlogamente, si se considera el conjunto de sentencias  tiene un modelo R* y  es un infinitsimo. V,N] $]  $  d 0D ` UModelos no estndar&,, d 60 P > ` d c $A ??` ` d c $A ??` `  H d 0޽h ? ̙33=  \}(  \ \ 0pçP $` SAlgunos problemas&,, \ 6ɧ P > ` \ c $A ?? ,   \ <̧0 2P  [no es un conjunto bien ordenado ` \ c $A ??   ` \ c $A ?? `    \ <ҧ   g+no es completo ni es un cuerpo arquimediano ,* \ <Dا `Al cambiar la estructura base sobre la que se trabaja, tienen lugar tambin otros cambios. As: aaH \ 0޽h ? ̙33g X(  X X <l ` UInternal Set Theory&,, X 6\ P >  X <x   Se construye una nueva teora IST aadiendo al lenguaje de ZFC el predicado no definido st (estndar). Las nuevas frmulas se llaman externas; las de ZFC internas. El nuevo universo contiene conjuntos internos y nuevos  conjuntos , que llamaremos externos. Los axiomas no lgicos de IST son los de ZFC. restringidos a los conjuntos internos, y los principios de transferencia, idealizacin y estandarizacin. Introduciendo ciertos ultrafiltros, se prueba que IST. Es una extensin conservativa de ZFC r@}}?}}Y H X 0޽h ? ̙33E D(  D D <0n` ]Principio de transferencia &,, D 6`P > ` D c $A m?? `% mh D 0 e Axioma 1. Sea F(x,t1...tn) una frmula estndar (i.e. todas sus constantes estndar) sin ms variables libres que x, t1...tn. Entoncesf ] H D 0޽h ? ̙33 h`@(  @ @ <Tn` ]Principio de transferencia &,, @ 6D`P >  @ <(   @ < <TLD___PPT9& +El principio de transferencia se aplica esencialmente en las dos situaciones siguientes: Para demostrar que una propiedad interna se verifica para todo x es suficiente probarla para todo x estndar. (ii) Los objetos cuya existencia y unicidad vienen dadas por una frmula interna son estndar. XZ?0a[,Yob8XxH @ 0޽h ? ̙33 +(    <|6C` \Principio de idealizacin &,,  62`P > `  c $A ?? T    0=pp\ uAxioma 2. Sea B(x,y) una frmula interna (i.e. una frmula en ZFC), con al menos dos variables libres x e y. EntoncesvnH  0޽h ? ̙33 PH(    <EC` \Principio de idealizacin &,,  6J`P > \  0Np Aplicando el principio de idealizacin a la frmula se tiene que: Este nuevo elemento, evidentemente no estndar, es un natural infinitamente grande. Considerando 1/ obtenemos un nmero real infinitamente pequeo. *2 `  c $A+ E??P* E`  c $A) F?? h  FH  0޽h ? ̙33 91(    <[ ` O Definiciones & ,,  6p]`P > "  0bPpR \Definicin. 1. Un real es ilimitado (o infinitamente grande) si su valor absoluto es mayor que cualquier entero estndar. 2. Un real es infinitesimal (o infinitamente pequeo) si su valor absoluto es menor que todo real estndar positivo. 3. Dos nmeros reales x e y se dicen infinitamente prximos, y escribiremos x ~ y si x-y es infinitesimal. J]   H  0޽h ? ̙33 vn(    <po7` _ Principio de estandarizacin&,,  6pP > `  c $A ?? c    0wpp\ MAxioma 3. Sea C(z) una frmula arbitraria (i. e. interna o externa). EntoncesNFH  0޽h ? ̙33 ?7 (    <7` _ Principio de estandarizacin&,,  6܅P >   0pr PEjemplos. Calcular el  estandarizado de las siguientes clases donde  es infinitamente grande y  infinitamente pequeo. 4@5 `  c $A/ ??p@HX  H  0޽h ? ̙33 ld(    <ؓ7` _ Principio de estandarizacin&,,  6ȕP >   0PR }?Proposicin. Sea x un nmero real limitado. Entonces existe un nico real estndar 0x infinitamente prximo a x. Demostracin. (Existencia) Se comprueba que el nmero que satisface la condicin del enunciado es (Unicidad) Sean x1 y x2 estndar tales que x1 ~ x y x2 ~ x. Entonces x1-x2 ~ 0, de donde x1 = x2. "@ G k   ( ( `  c $A- H??p P  HH  0޽h ? ̙33{ +# (    <dp` I Halos &,,  6(P >   <K FDefinicin. Sea x un nmero real, llamaremos halo de x a: En particular, hal (0) es la clase de los infinitsimo. Ntese que hal(x) no es un conjunto en el sentido ZFC, pues en su definicin interviene la nocin  infinitamente prximos > "`  c $A. J??0` JH  0޽h ? ̙33 0/(    <x`` [ Nuevas caracterizaciones&,,  60P > |  <S<U Anlisis Sea {xn} una sucesin en X, {xn} converge a x si y slo si x ~ x para todo  infinitamente grande. f es uniformemente continua si y slo si para todo x e y tales que x ~ y, se tiene f(x) ~ f(y) Ejemplo: f(x)=x2 no es uniformemente continua  ( ( * H  0޽h ? ̙33 ]U@(    <d`` [ Nuevas caracterizaciones&,,  6T0P > j  <pSJ  Topologa A es abierto si y slo si para todo a en A, (X, T) es de Hausdorff si y slo si para todo a y b estndar y distintos, J D 6`  c $A( ??00 . `  c $A* ??P @ (  H  0޽h ? ̙33 {PL(  L L <D0 ` W lgebras asociativas&,, L 6d P >  L 0xp B<Definicin. Una ley de lgebra asociativa real es una aplicacin bilineal : Rn x Rn Rn que satisface: cualesquiera que sean x, y, z en Rn. Llamaremos lgebra asociativa al par (, Rn) y representaremos por An el conjunto de leyes de lgebra asociativa de dimensin n.  @  (  ( (4 (+  ( (= RB L s *DP ` P` L c $A ??P  H L 0޽h ? ̙33 `P'(  P P <0 ` U lgebras de Jordan&,, P 6" P >  P 0P&p X<Definicin. Una ley de lgebra de Jordan real es una aplicacin bilineal simtrica  : Rn x Rn Rn tal que: cualesquiera que sean x, y en Rn. Llamaremos lgebra de Jordan al par (, Rn) y representaremos por Jn el conjunto de leyes de lgebra de Jordan de dimensin n.  I     (     (   ( ,  ( *    (   ( < RB P s *DP `P` P c $A ??p  H P 0޽h ? ̙33 pT8(  T T <= ` R lgebras de Lie&,, T 6? P >  T 0Gp lfDefinicin. Una ley de lgebra de Lie real es una aplicacin bilineal alternada : Rn x Rn Rn que verifica la identidad de Jacobi: cualesquiera que sean x, y en Rn. Llamaremos lgebra de Lie al par (, Rn) y representaremos por Ln el conjunto de leyes de lgebra asociativa de dimensin n. 4 F  (  ( (G ('  ( (= RB T s *D ` T c $A ?? 7  H T 0޽h ? ̙33 e]h(  h h 0^0`  Relacin entre An, Jn y Ln~,,,,,, , h 6gP > $ h 0jpjbZ___PPT9<4 RZProposicin. Sea (Rn, o) una ley de lgebra asociativa. La ley  definida por es una ley de lgebra de Jordan. 2. La ley  definida por es una ley de lgebra de Lie. :!9 &k  ,8] @`` h c $A ?? (H  ` h c $A ?? Ph  H h 0޽h ? ̙33( h(    < X hEcuaciones de A2<,,,  6 P > `  c $A ??`0    < @  l*A2 es una variedad algebraica inmersa en &+(`  c $A ??  H  0޽h ? ̙33 vn (     <h REl problema de clasificacin,  6P >   <pl 5Se considera la accin de GL(n, R) sobre A2 dada por 86   `   c $A !??0@  !  < @^  C/Y se trata de determinar el espacio de rbitas `   c $A "??   ",  < @  ldonde () es el conjunto de leyes de A2 isomorfas a 87! (   6P > H  0޽h ? ̙33  H@(  H H <   Hlgebras de Jordan, H 6 P > 8  H < nTeorema. Sea  no nula en J2. Entonces  es isomorfa a:B8 ( `  H c $A ?? H H 0޽h ? ̙33 p4(  p p 0X@ hPara clasificar A2 usaremos la descomposicin donde  es una ley de lgebra de Jordan y  es una ley de lgebra de Lie. Las lgebras de Jordan de dimensin dos estn clasificadas, y las constantes de estructura de un lgebra de Lie en L2 son \}%%   p <0  DDescomposicin, p 6h P > ` p c $A! ?? ` p c $A ??`   H p 0޽h ? ̙33 d\l(  l l <t NTeorema de clasificacin, l 6$P >  l 68P > : l <<i pTeorema. Sea  no nula en A2. Entonces  es isomorfa a:B9 ( ` l c $A ??0p a H l 0޽h ? ̙33 qit(  t t <(P ? Isotropa , t 6DP > j t <\P Proposicin. Sea  un lgebra asociativa en A2. Entonces: 1. Si  es sin isotropa,  es isomorfa a 1 o 2. 2. Si  slo tiene isotropa por la izquierda, entonces  es isomorfa a 6. 3. Si  slo tiene isotropa por la derecha, entonces  es isomorfa a 7.  }  (9 ( (N (L (  @`H t 0޽h ? ̙33 UMx(  x x <H%P2 =Rigidez, x 6)P > P x <,l*  Definicin. Sea  en An una ley de lgebra asociativa. Diremos que  es rgida si su rbita es abierta. Traduccin al lenguaje no estndar. Una ley de lgebra asociativa 0 estndar es rgida si y slo si cualquier perturbacin de 0 es isomorfa a ella. }  (2 $ " ! (= (  @`H x 0޽h ? ̙33 wo(    < E D [%Teorema de descomposicin de un punto&&$  6JP >    6MP > @   < { Teorema [Goze] Sea M0 un punto estndar de Rn. Entonces cualquier punto M infinitamente prximo a M0 admite una descomposicin de la forma donde 1... p son infinitamente pequeos y v1...vn son vectores linealmente independientes. 71 ( ( ( () `  c $A #?? @H  #H  0޽h ? ̙33P (    <\ D RDescomposicin de un lgebra$  6DbP >   6XeP >   <h p  fAplicando el teorema de Goze, si  es una perturbacin de 0, entonces  se puede escribir como: donde 1... p son infinitamente pequeos y 1... n son aplicaciones bilineales independientes.! (&   (   (   (   ( - `  c $A, z??p  zH  0޽h ? ̙338  8x(  8 8 <4|` $ HTeorema de rigidez$ 8 6`` P >  8 < D  lTeorema. Las nicas lgebras asociativas reales de dimensin dos rgidas son 1, 2, 6 y 7. Por tanto, A2 tiene dos componentes abiertas de dimensin cuatro y dos componentes abiertas de dimensin dos.  E ( ( ( (  dH 8 0޽h ? ̙33 800|(  | | <Xt  FDemostracin (I)$ | 6 P > Z | <؟z rDemostracin. Para ver que 1 es rgida, tomemos una perturbacin donde  ~ 1 y  ~ 1. Como 1 es rgida,  es isomorfa a 1 y, de acuerdo, con la clasificacin,  =0. As, para una cierta base =1 y 1 es rgida. Para demostrar la rigidez de 6, consideremos de nuevo una perturbacin con  ~ 6. Como 6 es rgida,  es isomorfa a 6 (adems, con un cambio de base infinitamente prximo). `K  (B ( ( ( (I ( (, (F ( ( (> ` | c $A% ??  ` | c $A# ??   H | 0޽h ? ̙33U @(    <dkt  GDemostracin (II)$  6X P >   <$1 "En esta nueva base, las constantes de estructura del lgebra de Lie asociada vienen dadas por la matriz Segn la clasificacin, =0 y +  =. Como y - no son infinitamente prximos,  =0 y  es isomorfa a 6. B ( ( `  c $A& ??P p  H  0޽h ? ̙33h P(    <H  HDemostracin (III)$  6 P >   <    4\Veamos ahora que 3, 4 y 5 no son rgidas. Para ello, es suficiente con considerar las perturbaciones: todas ellas sin isotropa y, por tanto, isomorfas a 1 o 2.  ( ( ( ( ( ( `  c $A" ??`  H  0޽h ? ̙33 `,C(  , , < D qLa nocin de lmite en A2<$$$ , 60 P >  , < Definicin. Sea  una ley de lgebra asociativa y sea {ft} una familia de endomorfismos no singulares. Si existe cualesquiera que sean x, y en Rn, entonces  es un lgebra asociativa, a la que llamaremos contraccin de  por {ft}.    X 1  $  ` , c $A P??w  PH , 0޽h ? ̙33 p4/(  4 4 <  ,D SDos ejemplos de contracciones$ 4 6\  P >  4 <g HEjemplo 1. Toda lgebra asociativa se contrae sobre el lgebra abeliana por la familia de transformaciones Ejemplo 2. En A2, 3 es una contraccin de 1 si se consideran los cambios de base paramtricos  b  ( (4 (` 4 c $A T??@ 0  T` 4 c $A U??P  X UH 4 0޽h ? ̙33 A90(  0 0 <x"0 D OContracciones y topologa$ 0 6(( P >  0 <<+) VProposicin. Sea  una ley de lgebra asociativa y sea  una contraccin de  por{ft}. Entonces  es un punto adherente a () y se tiene: En particular, las lgebras rgidas no son contracciones de ninguna otra lgebra. v    . T` 0 c $A R?? (  RH 0 0޽h ? ̙33 (W(  ( ( <:D [%Contracciones de lgebras asociativas&&$ ( 6,P >  ( 6hB0P >  ( <E p Teorema. Las nicas lgebras en A2 que se obtienen como contracciones son 3, 4 y 5. Ms precisamente: (i) 3 es una contraccin de 1 y 2 (ii) 4 es una contraccin de 2 (iii) 5 es una contraccin de 1,2, 3 y 4  ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (H ( 0޽h ? ̙33 $-(  $ $ 6P >  $ 60P > ` $ c $A E?? E` $ c $A G?? 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